Cálculo Diferencial (ejercicios)

Problemas de Optimización 

2.- Un agricultor desea construir con 100m de rollo de tela de alambre un corral de forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del corral de tal manera que el área cercada sea máxima.

a) x  y                                  (x) (50 - x) = p       p´´= - 2            2(25) + 2y= 100

b) 2x + 2y = 100                  p’= 50 – 2x           p´´ (25)= -2       50 + 2y= 100

c) (x) (y)= p                          50 – 2x = 0      = - 2 < 0 máximo 2y= 100 - 50

Despejar 2y=100 – 2x          50= 2x                                          2y= 50

y = 100 – 2x /2                      x= 50/2                                         y= 50/2     y=25

y= 50 - x                                x= 25                         (x) (y)= p   A=  (25) (25)= 625 m²

                                   R:     x= 25     y= 25

7.- Un fabricante desea construir una caja rectangular sin tapa a partir de una pieza rectangular de cartón de 50 x 40 cm, para lo cual debe hacer cortes cuadrados en las esquinas y doblar los lados. Determine de qué medida debe cortarse el cuadrado para que el volumen de la caja sea máximo. 

L= 50 – 2x                 v= (L)(A)(h)

A= 40 – 2x                 v= (50-2x)(40-2x)(x)

h= x                           v = (50-2x)(40x-2x²)    v= (2000x-100x²-80x²+4x³)

R:     x= 7.36 cm       v= 4x³ - 180x² + 2000x

                                    v´= 12x² - 360x + 2000 

                                             a        b         c

V´´= 24x – 360

V´´= 24(22.63) – 360= 183.12 > 0 mínimo

V´´= 24(7.36) – 360= -183.36 < 0 máximo

                                                 

v= (50-2(7.36))(40-2(7.36))(7.36)

v= (35.28)(25.28)(7.36)

v= 6564.22 cm³

12.- Determine el valor de dos números tales que su suma sea igual a 12 y el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo. 

a) x    y                          R=  x= 4        y= 8

b) x + y= 12

(x)(y)²= p                                                               12 - x

y= 12 – x                                                                12 - x

(x)(12-x)²=p                                                      _________

                                                                            144 - 12x

                                                                                   -  12x + x²

                                                                   ^{__________________}

                                                                            144 – 24x + x²

(x)(144 – 24x + x²)

144x – 24x² + x³

X³ – 24x² + 144x

3x² – 48x + 144

  a       b         c

x + y = 12                         (x)(y)²= p

(12) + y = 12                    (12)(0)²= 0

 y= 12 - 12 = 0        

(4) + y = 12                       (x)(y)²= p

y= 12 – 4 = 8                    (4)(8)²= 256